В 1939 окончил Петропавловский медицинский техникум. В том же году был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию.
С 1941 года служил в составе 201-го отдельного пулемётного батальона 213-й стрелковой дивизии в городе Каттакургане Самаркандской области Узбекской ССР.
С 1943 — на фронтах Великой Отечественной войны. К сентябрю 1943 года гвардии лейтенант медслужбы Виктор Быковский командовал санитарным взводом 224-го гвардейского стрелкового полка 72-й гвардейской стрелковой дивизии 7-й гвардейской армии Степного фронта. Отличился во время битвы за Днепр.
В ночь с 24 на 25 сентября 1943 года в составе группы Быковский переправился через Днепр в районе села Бородаевка Верхнеднепровского района Днепропетровской области Украинской ССР. Во время боя за село, защищая раненых в медпункте батальона от атаковавших его немецких подразделений, получил тяжёлое ранение, но поля боя не покинул, продолжая обороняться. Действия Быковского позволили сохранить жизни находившимся в медпункте раненым.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1943 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии лейтенант медицинской службы Виктор Быковский был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 1440.
В конце 1943 года Быковский был выписан из госпиталя и вернулся на фронт. Принимал участие в освобождении Украины и Румынии, форсировании Буга, Прута, Днестра. В 1944 вступил в ВКП(б). В августе того же года он был направлен на учёбу.