Родился в семье учителей.
В 1929 - 1930 семья Космодемьянских проживала в Иркутской области, в селе Шиткино (ныне Тайшетский район).
В 1930 семья переехала в Москву, где Александр окончил 10 классов школы № 201.
На фронтах Великой Отечественной войны с октября 1943. Ушёл на фронт после казни сестры Зои. Находясь на фронте, стремился отыскать палачей своей сестры.
Воевал на Западном фронте в составе 42 гвардейской тяжелой танковой бригады. Боевое крещение получил 21 октября 1943 под Оршей в составе экипажа танка КВ с надписью на борту «За Зою». Позже участвовал в освобождении Белоруссии и Прибалтики, в прорыве рубежей немецкой обороны в Восточной Пруссии, в штурме крепости Кёнигсберг. После капитуляции немцев в Кёнигсберге гвардии старший лейтенант А. Космодемьянский был назначен командиром батареи ИСУ-152 350-го гвардейского тяжёлого самоходного артиллерийского полка (43-я армия, 3-й Белорусский фронт).
Погиб 13 апреля 1945 при штурме населённого пункта Фирбрюдеркруг (нем. Vierbrüderkrug) на Земландском полуострове западнее нынешнего Калининграда. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище напротив могилы сестры (участок № 4).
А.А.Космодемьянский навечно зачислен в списки воинской части. В Калининграде установлен бюст Героя. На 14-м километре шоссе Калининград—Балтийск сооружён мемориал, на котором высечены слова:
«Здесь 13 апреля 1945 года в бою с фашистскими захватчиками погиб Герой Советского Союза гвардии старший лейтенант Александр Космодемьянский».
В честь Александра Космодемьянского назван посёлок в составе Калининграда, а также малая планета (1977) Шура (1977 Shura), открытая Т. М. Смирновой 30 августа 1970 в Крымской астрофизической обсерватории. В Москве есть Улица Зои и Александра Космодемьянских, где Героям установлена стела.